Question

已知點B是半圓x²+y²=1（y＞0）上的一個動點，點A的坐標(biāo)為（2，0），△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，且頂點A、B、C按順時針方向排列．求點C的軌方程．

Answer 1

【答案】分析：由題意“已知點B是半圓x²+y²=1（y＞0）上的一個動點，點A的坐標(biāo)為（2，0），△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，且頂點A、B、C按順時針方向排列．求點C的軌方程”，可設(shè)C（x，y），令B（x，y），由等腰直角三角形的特征，兩直角邊垂直且相等建立B，C兩點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，用點C的坐標(biāo)，表示出點B的坐標(biāo)，代入x²+y²=1，整理即可得到點C的軌跡方程
解答：解：設(shè)C（x，y），令B（x，y），
∵點A的坐標(biāo)為（2，0），△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，
∴k_AB×k_AC=-1，且AB=AC
∴    ①；
（x-2）²+y²=（x-2）²+y²   ②
由①得代入②得（x-2）²+y²=
整理得（x-2）²+y²=，即=（x-2）²
又y＞0，x≥2
可得y=x-2代入①得，解得x=2-y
又點B（x，y）是半圓x²+y²=1（y＞0）上的一個動點
所以有（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）
故點C的軌跡方程是（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）
點評：本題考查求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，建立起已知軌跡方程的曲線上的點B的坐標(biāo)與要求的軌跡方程的曲線上的點C的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再代入已知的軌跡方程，整理得出要求的軌跡方程，此過程稱為代入法，其步驟為未知表示已知，再代入已知得出要求的軌跡方程，本題由垂直與線段相等兩個關(guān)系建立方程，由于都是符號運算，運算量較大，變形時要嚴(yán)謹(jǐn)，不要因為運算出錯，導(dǎo)致解題失敗，由解題過程可以看出，此類題求解規(guī)律固定，入手一般是從找等量關(guān)系開始，切記！