Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）當m=7時，求函數f（x）的定義域；
（2）若關于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求得|x+1|+|x-2|＞7，然后分類討論去絕對值號，求解即可得到答案．
（2）由關于x的不等式f（x）≥2，得到|x+1|+|x-2|≥m+4．因為已知解集是R，根據絕對值不等式可得到|x+1|+|x-2|≥3，令m+4≤3，求解即可得到答案．

解答：解：（1）由題設知：當m=5時：|x+1|+|x-2|＞7，
不等式的解集是以下三個不等式組解集的并集：

x≥2 x+1+x-2＞7

，或

1≤x＜2 x+1-x+2＞7

，或

x＜1  -x-1-x+2＞7

，
解得函數f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（4，+∞）；
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|≥m+4，
∵x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴不等式|x+1|+|x-2|≥m+4解集是R，等價于m+4≤3，
∴m的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的應用問題，題中涉及到分類討論的思想，考查學生的靈活應用能力，屬于中檔題目．