Question

f（x）是定義在[-2π，2π]上的偶函數，當x∈[0，π]時，f（x）=2cosx，當x∈（π，2π]時，y=f（x）的圖象是斜率為

4

π

，在y軸上截距為-2的直線在相應區間上的部分． 
（1）求f(-2π)，f(-

π

6

)的值；    
（2）寫出函數y=f（x）的表達式，作出圖象，并寫出函數的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：當x∈（π，2π]時，y=f(x)=

4

π

x-2，再根據函數的奇偶性可得：f（-2π）=f（2π）與f(-

π

6

)=f(

π

6

)，進而結合題中的條件可得答案．
（2）設x∈[-2π，-π），則-x∈（π，2π]，由題得：當x∈（π，2π]時，y=f(x)=

4

π

x-2，可得y=f(-x)=-

4

π

x-2，進而結合函數的奇偶性可得當x∈[-2π，-π)時，f(x)=-

4

π

x-2；
同理可得：當x∈[-π，0]時，f（x）=2cosx，即可得到答案．

解答：解：（1）因為當x∈（π，2π]時，y=f（x）的圖象是斜率為

4

π

，在y軸上截距為-2的直線在相應區間上的部分，
所以當x∈（π，2π]時，y=f(x)=

4

π

x-2，
又因為y=f（x）是偶函數
所以f(-2π)=f(2π)=

4

π

•2π-2=6．
又當x∈[0，π]時，f（x）=2cosx，
所以f(-

π

6

)=f(

π

6

)=2•cos

π

6

=

3

．
（2）設x∈[-2π，-π），則-x∈（π，2π]，
因為當x∈（π，2π]時，y=f(x)=

4

π

x-2，
所以y=f(-x)=-

4

π

x-2，
又因為f（x）是定義在[-2π，2π]上的偶函數，
所以當x∈[-2π，-π)時，f(x)=-

4

π

x-2；
同理可得：當x∈[-π，0]時，f（x）=2cosx，
所以f(x)=

- 4 π x-2，x∈[-2π，-π) 2cosx    x∈[-π，π] 4 π x-2   x∈(π，2π]

其圖象在[-2π，2π]上的圖象如圖所示，
故函數的遞增區間為[-π，0]，（π，2π]；遞減區間為[-2π，-π），[0，π]

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的有關性質，如奇偶性、單調性、函數值、圖象等性質，以及函數性質的綜合應用與直線的點斜式方程，此題綜合性較強屬于中檔題．