Question

【題目】設函數f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數

（1）求b、c的值．

（2）求g（x）的單調區間與極值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函數，且f'（x）=3x2+2bx+c能夠求出b與c的值；

（2）對g（x）進行求導，g'（x）＞0時的x的取值區間為單調遞增區間，g'（x）＜0時的x的取值區間為單調遞減區間．g'（x）=0時的x函數g（x）取到極值．

（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．

從而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c

是一個奇函數，所以g（0）=0得c=0，由奇函數定義得b=3；

（2）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，從而g'（x）=3x2﹣6，

當g'（x）＞0時，x＜﹣或x＞，

當g'（x）＜0時，﹣＜x＜，

由此可知，g（x）的單調遞增區間為（﹣），（，+∞）；單調遞減區間為（﹣，）；

g（x）在x=﹣時取得極大值，極大值為4，

g（x）在x=時取得極小值，極小值為4．