Question

在直角坐標系xOy中，以M（-1，0）為圓心的圓與直線x-

3

y-3=0相切．
（1）求圓M的方程；
（2）如果圓周上存在兩點關于直線mx+y+1=0對稱，求m的值；
（3）已知A（-2，0），B（2，0），圓肘內的動點P滿足|PA|•|PB|=|PO|²，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由直線與圓相切，得到圓心到切線的距離d等于半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心M到已知直線的距離d，即為圓M的半徑，寫出圓M方程即可；
（2）由圓上存在兩點關于直線mx+y+1=0對稱，得到直線mx+y+1=0過圓心，將M坐標代入直線中，即可求出mm的值；
（3）設P（x，y），利用兩點間的距離公式化簡已知的等式，整理后得到x與y的關系式，再表示出兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則計算所求的式子，將表示出的關系式代入得到關于y的式子，由P在圓M內部，得到P與圓心M的距離小于半徑列出不等式，即可求出所求式子的范圍．

解答：解：（1）依題意，圓心M（-l，0）到直線x-

3

y-3=0的距離d=r，
∴d=

|-1-3|

1+3

=2=r，
則圓M的方程為（x+1）²+y²=4；
（2）圓M上存在兩點關于直線mx+y+1=0對稱，
∴直線mx+y+1=0必過圓心M（-1，0），
將M坐標代入mx+y+1=0得：-m+1=0，
解得：m=1；
（3）設P（x，y），
由|PA|•|PB|=|P0|²得：

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，
整理得：x²-y²=2，
∵A（-2，0），B（2，0），
∴

PA

=（-2-x，-y），

PB

=（2-x，-y），
∴

PA

•

PB

=x²-4+y²=2（y²-1），
點P在圓M內，（x+1）²+y²＜4，可得0≤y²＜4，
∴-2≤2（y²-1）＜6，
則

PA

•

PB

的取值范圍為[-2，6）．

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，對稱的性質，平面向量的數量積運算法則，以及點與圓、直線與圓的位置關系，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．