Question

已知O是銳角三角形△ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若

cosB

sinC

AB

+

cosC

sinB

AC

=2m

AO

，則m=（　　）

A．sinθ

B．cosθ

C．tanθ

D．不能確定

Answer 1

分析：設外接圓半徑為R，把已知條件化為：

cosB

sinC

•(

OB

-

OA

)+

cosC

sinB

 •(

OC

-

OA

)=2m•

AO

，左右分別與

OA

作數量積，化簡可得 sin（B+C）=m，再利用誘導公式可得m=sinA=sinθ，從而得出結論．

解答：解：設外接圓半徑為R，則：

cosB

sinC

AB

+

cosC

sinB

AC

=2m

AO

 可化為：

cosB

sinC

•(

OB

-

OA

)+

cosC

sinB

 •(

OC

-

OA

)=2m•

AO

  （*）．
易知

OA

與

OB

的夾角為2∠C，

OC

與

OA

的夾角為2∠B，

OA

與

OA

的夾角為0，
|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=R．
則對（*）式左右分別與

OA

作數量積，可得：

cosB

sinC

•

OA

•

OB

-

cosB

sinC

•

OA

2+

cosC

sinB

 •

OC

•

OA

-

cosC

sinB

 •

OA

2=-2m

OA

2．
即

cosB

sinC

• R² （cos2C-1）+

cosC

sinB

•R²（cos2B-1）=-2mR²．
∴-2sinCcosB+（-2sinBcosC）=-2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m．
因為sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，
所以，m=sinA=sinθ，
故選A．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，兩角和差的正弦公式，二倍角公式的應用，屬于中檔題．