Question

（1）設f（x）=；
（2）f（x）為多項式，且=1，=5，求f（x）的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出f（x）=（2x+b）=b，f（x）=（1+2^x）=2，再由f（x）=f（x），確定b的值．
（2）由于f（x）是多項式，且=1，可設f（x）=4x³+x²+ax+b，再由（4x²+x+a+）=5，確定f（x）的表達式．
解答：解：（1）f（x）=（2x+b）=b，f（x）=（1+2^x）=2，
當且僅當b=2時，f（x）=f（x），故b=2時，原極限存在．
（2）由于f（x）是多項式，且=1，
∴可設f（x）=4x³+x²+ax+b（a、b為待定系數）．
又∵=5，即（4x²+x+a+）=5，
∴a=5，b=0，即f（x）=4x³+x²+5x．
點評：（1）函數在某點處有極限，與其在該點處是否連續不同．
（2）初等函數在其定義域內每點的極限值就等于這一點的函數值，也就是對初等函數而言，求極限就是求函數值，使極限運算大大簡化．