Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是BC的中點。

(1)求異面直線AE與A₁C所成的角；

(2)若G為C₁C上一點，且EG⊥A₁C，試確定點G的位置；

(3)在（2）的條件下，求二面角A₁-AG-E的大小（文科求其正切值）。

Answer 1

（1）

（2）G是CC₁的中點

(3) 故二面角的平面角是π－arctan 

（文）二面角的平面角的正切值為－

解析:

（1）取B₁C₁的中點E₁，連A₁E₁，E₁C，則AE∥A₁E₁，∴∠E₁A₁C是異面直線AE與A₁C所成的角。設，則

中， 。

所以異面直線AE與A₁C所成的角為。  ------------------4分

（2）.由（1）知，A₁E₁⊥B₁C₁,又因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱

⊥BCC₁B₁,又EG⊥A₁C   CE₁⊥EG.

∠=∠GEC  ~

即得

所以G是CC₁的中點             ---------------------------- --8分

（3）連結AG,設P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q,連EP,EQ,則EP⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁   EP⊥平面ACC₁A₁ 

而PQ⊥AG   EQ⊥AG.∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.

由EP=a,AP=a,PQ=,得

所以二面角C-AG-E的平面角是arctan，而所求二面角是二面角C-AG-E的補角，故二面角的平面角是π－arctan  ------------------------12分

（文）二面角的平面角的正切值為－。------------------------12分