Question

如圖，在一個(gè)半徑為r的半圓形鐵板中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD，矩形的邊AB在半圓的直徑上，頂點(diǎn)C、D在半圓上，O為圓心．令∠BOC=θ，用θ表示四邊形ABCD的面積S，并求這個(gè)矩形面積S的最大值．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)和圖形求出矩形的長(zhǎng)和寬，再表示出矩形的面積，利用倍角的正弦公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的最值求出矩形面積的最大值．

解答：解：由圖得，BC=rsinθ，AB=2rcosθ，
∴S=AB×BC=2rcosθ×rsinθ=r²sin2θ，
當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，sin2θ=sin

π

2

=1，
∴Smax=r2．

點(diǎn)評(píng)：本題是實(shí)際問(wèn)題為背景，考查了倍角的正弦公式，以及直角三角形中的三角函數(shù)，注重?cái)?shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用．