Question

設函數f（x）=2sin（2x+

π

4

）+1，
（I）用五點法畫出它在一個周期內的閉區間上的圖象；
（II）求函數f（x）的最小正周期及函數f（x）的最大值
（III）求函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據用五點法作y=Asin（ωx+∅）的圖象的犯法作出函數函數f（x）=2sin（2x+

π

4

）+1在一個周期上的簡圖．
（Ⅱ）周期T=

2π

2

=π，當sin（2x+

π

4

）=1時，f（x）取得最大值是3．
（III）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范圍，即可得到函數f（x）的單調增區間．

解答：解：（Ⅰ）列表可得

2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
sin（2x+ π 4 ）	0	1	0	-1	0
y	1	3	1	-1	1

作圖：--------（4分）
（Ⅱ）周期T=

2π

2

=π，當sin（2x+

π

4

）=1時，f（x）取得最大值是3．--------（8分）
（III）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
故函數f（x）的單調增區間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈z）．…（12分）

點評：本題主要考查用五點法作y=Asin（ωx+∅）的圖象，求三角函數的最值，正弦函數的單調區間，屬于中檔題．