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已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為(  )
分析:先求出導數f′(x),由f(x)有極大值、極小值可知f′(x)=0有兩個不等實根.
解答:解:函數f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,所以f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
因為函數有極大值和極小值,所以方程f′(x)=0有兩個不相等的實數根,
即3x2+2ax+(a+6)=0有兩個不相等的實數根,
∴△>0,∴(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得:a<-3或a>6.
故選D.
點評:本題以函數的極值為載體,考查導數在求函數極值的應用,將函數有極大值和極小值,轉化為方程f′(x)=0有兩個不相等的實數根是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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已知f(x)=x3+mx2-x+2(m∈R).
(1)如果函數f(x)的單調遞減區間為(
13
,1),求函數f(x)的解析式;
(2)若f(x)的導函數為f′(x),對任意x∈(0,+∞),不等式f′(x)≥2xlnx-1恒成立,求實數m的取值范圍.

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(1,0)或(-1,-4)
(1,0)或(-1,-4)

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3x
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