Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=

1

2

an+2，a₁=2．
（1）求證：數列{a_n-4}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）是否存在正整數m，n，使

an+1＞2an-m an+1＞m

成立？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）對a_n+1=

1

2

an+2構造，變形得出a_n+1-4=

1

2

（a_n-4），得出數列{a_n-4}是等比數列；
（2）通過等比數列{a_n-4}的通項公式，求出數列{a_n}的通項公式，先分組再利用公式計算化簡
（3）利用數列{a_n}的通項公式化簡

an+1＞2an-m an+1＞m

，結合正整數m，n，采用驗證的方法可以得出m，n的存在性．

解答：解：（1）在a_n+1=

1

2

an+2兩邊減去4，得a_n+1-4=

1

2

（a_n-4），所以數列{a_n-4}是以

1

2

為公比的等比數列；
（2）數列{a_n-4}首項為a₁-4=-2，數列{a_n-4}的通項公式為a_n-4=-2×(

1

2

)n-1，
∴a_n=-2×(

1

2

)n-1+4，
∴S_n=

-2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+4n=2^2-n+4n-4．
（3）

an+1＞2an-m an+1＞m

，即為

4-2×( 1 2 )n＞8-4×( 1 2 )n-1-m① 4-2×( 1 2 )n＞m②

由②知，n=1時，m＜3，∴m=1，代入①不成立，m=2，代入①成立．
所以存在正整數m，n，使

an+1＞2an-m an+1＞m

成立，此時m=2，n=1．

點評：本題考查數列的遞推公式和通項公式，數列求和．考查推理論證，運算求解能力．