Question

對于數(shù)列{a_n}，規(guī)定{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N*）；一般地，規(guī)定{△^ka_n}為數(shù)列{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n²-n（n∈N*），試證明{△a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足△²a_n-a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記b_n=，求證：b₁++…+＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意：△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²-（n+1）-n²+n=5n-4，所以△a_n+1-△a_n=6．由此能夠證明{△a_n}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，知△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，所以△a_n-a_n=2ⁿ．由此入手能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由a_n=n•2^n-1，b_n===，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，==（-），由此入手，能夠證明b₁++…+＜．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意：△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²-（n+1）-n²+n=5n-4 （2分）
∴△a_n+1-△a_n=6．
∴數(shù)列{Da_n}是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列．（3分）
（Ⅱ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，∴△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，⇒△a_n-a_n=2ⁿ．（5分）
而△a_n=a_n+1-a_n，∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，∴-=，（6分）
∴數(shù)列{}構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
即=⇒a_n=n•2^n-1．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a_n=n•2^n-1，
∴b_n===（9分）
∴當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)==（-），
∴b₁++…+=1+[（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]
=1+（+--）＜1+（+）=．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1＜，顯然成立．
∴b₁++…+＜．（12分）
點(diǎn)評：第（Ⅰ）題考查等差數(shù)列的證明，解題時(shí)要注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用；第（Ⅱ）題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用；第（Ⅲ）題考查數(shù)列前n項(xiàng)和的證明，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．