Question

在極坐標系中，過曲線L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一點A(2

5

，π+θ)（其中tanθ=2，θ為銳角）作平行于θ=

π

4

(ρ∈R)的直線l與曲線分別交于B，C．
（Ⅰ） 寫出曲線L和直線l的普通方程（以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比數列，求a的值．

Answer 1

分析：（I）根據極坐標方程與直角坐標系下的普通方程的互化公式可求曲線方程及直線方程
（II）寫出直線l的參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)，由|BC|²=|AB|，|AC|，代入可求a的值

解答：解：（Ⅰ）根據極坐標的轉化可得，曲線l的方程為：ρ

y2

ρ2

=2a

x

ρ

即 y²=2ax，A（-2，-4）
直線L的方程為y+4=x+2即y=x-2（3分）
（Ⅱ）直線l的參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數），
代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)
因為|BC|²=|AB|，|AC|，所以（t₁-t₂）²=（t₁+t₂）²-4t₁•t₂=t₁•t₂
解得 a=1（7分）

點評：本題主要考查了極坐標與直角坐標的互化，直線與曲線的位置關系的應用，解題的關鍵是要熟練應用極坐標與直角坐標的互化．