Question

已知函數f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）當a=-1時，求f（x）的最大值；
（II）對f（x）圖象上的任意不同兩點P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），證明f（x）圖象上存在點P₀（x₀，y₀），滿足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）圖象上以P₀為切點的切線與直線P₁P₂平等；
（III）當a=

3

2

時，設正項數列{a_n}滿足：a_n+1=f'（a_n）（n∈N^*），若數列{a_2n}是遞減數列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出函數的導函數判斷出其大于零得到函數在區間[1，e]上為增函數，所以f（1）為最小值，f（e）為最大值，求出即可；
（II）直線P₁P₂的斜率k由P₁，P₂兩點坐標可表示為 k=

ax2+lnx2-ax1-lnx1

x2-x1

=a+

lnx2-lnx1

x2-x1

；由（1）知-x+lnx≤-1，當且僅當x=1時取等號；可得 -

x2

x1

+ln

x2

x1

＜-1，整理可得

lnx2-lnx1

x2-x1

＜

1

x1

，同理，由 -

x1

x2

+ln

x1

x2

＜-1，得

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

1

x2

；所以P₁P₂的斜率 k∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，在x∈（x₁，x₂）上，有 f′(x)=a+

1

x

∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′(x)=-1+

1

x

=

-x +1

x

．
對于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在區間（0，1]上為增函數，
對于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在區間（1，+∞）上為減函數，．
∴f_max（x）=f（1）=-1；
（II）直線P₁P₂的斜率為 k=

ax2+lnx2-ax1-lnx1

x2-x1

=a+

lnx2-lnx1

x2-x1

；
由（1）知-x+lnx≤-1，當且僅當x=1時取等號，
∴-

x2

x1

+ln

x2

x1

＜-1?ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1?lnx2-lnx1＜

x2-x1

x1

?

lnx2-lnx1

x2-x1

＜

1

x1

，
同理，由 -

x1

x2

+ln

x1

x2

＜-1，可得

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

1

x2

；
故P₁P₂的斜率 k∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，
又在x∈（x₁，x₂）上，f′(x)=a+

1

x

∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，
所以f（x）圖象上存在點P₀（x₀，y₀），滿足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）圖象上以P₀為切點的切線與直線P₁P₂平行；
（III）f（x）=

3

2

x+lnx，f′（x）=

3

2

+

1

x

，∴a_n+1=

3

2

+

1

an

，
a₃=

3

2

+

1

a2

，a₄=

3

2

+

1

a3

=

3

2

+

1

3 2 + 1 a2

=

13a2+6

2(3a2+2)

＜a₂?2a₂²-3a₂-2＞0，
?（2a₂+1）（a₂-1）＞0?a₂＞2?

3

2

+

1

a1

＞2?0＜a₁＜2，
下面我們證明：當0＜a₁＜2時，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2（n∈N₊）
事實上，當n=1時，0＜a₁＜2?a₂=

3

2

+

1

a1

＞2，
a₄-a₂=

13a2+6

2(3a2+2)

-a2=-

3(2a2+1)(a2-2)

2(3a2+2)

＜0?a₄＜a₂，結論成立．
若當n=k時結論成立，即a_2k+2＜a_2k，且a_2k＞2，則
a_2k+2=

3

2

+

1

a2k

＞2?a_2k+4=

3

2

+

1

a2k+2

＞2，
a_2k+4-a_2k+2=

13a2k+2+6

2(3a2k+2+2)

-a2k+2=-

3(2a2k+2+1)(a2k+2-2)

2(3a2k+2+2)

＜0
?a_2k+4＜a_2k+2，
由上述證明可知，a₁的取值范圍是（0，2）．

點評：本題綜合考查了利用導數研究曲線上過某點的切線方程，利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值問題，也考查了利用函數證明不等式的問題，以及利用數學歸納法證明數列不等式，考查運算能力和分析解決問題能力，屬難題．