Question

已知（x-

1

x

）ⁿ的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為512，則展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)為

 

Answer 1

分析：首先分析題目已知（x-

1

x

）ⁿ的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為512，求展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)．因?yàn)橛啥��?xiàng)式性質(zhì)可直接得到二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，故可求出n的值，再列出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，求出x³項(xiàng)為第幾項(xiàng)，代入通項(xiàng)求出系數(shù)即可得到答案．

解答：解：因?yàn)楦鶕?jù)二項(xiàng)式性質(zhì)（x-

1

x

）ⁿ的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ
故由已知得2ⁿ=512  故n=9
又展開(kāi)式中二項(xiàng)式的通項(xiàng)為Tk=

C

9 k

xk•(-

1

x

)9-k=（-1）^9-kC₉^kx^2k-9
故展開(kāi)式中x³項(xiàng)為2k-9=3，即k=6，則系數(shù)為（-1）^9-3C₉³=-84
故答案為：-84．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，其中涉及到展開(kāi)式中二項(xiàng)式的通項(xiàng)的求法，此類題目在高考中多以選擇填空的形式出現(xiàn)，一般考查的都是比較簡(jiǎn)單的概念性問(wèn)題，同學(xué)們需要掌握．