Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M為棱AA₁的中點，則直線BC₁與平面MC₁D₁所成角的正弦值是（　　）

• A．

  10

  15

• B．

  30

  10

• C．

  10

  10

• D．

  3 10

  10

Answer 1

分析：設正方體的邊長為1，以D點為坐標原點，以DA、DC、DD₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出平面MC₁D₁的一個法向量為

n

，然后求出法向量為

n

與

BC1

夾角的余弦值即為直線BC₁與平面MC₁D₁所成角的正弦值．

解答：解：設正方體的邊長為1，以D點為坐標原點，以DA、DC、DD₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系
則M（1，0，

1

2

），D₁（0，0，1），C₁（0，1，1），B（1，1，0），
則

MD1

=（-1，0，

1

2

），

MC1

=（-1，1，

1

2

），

BC1

=（-1，0，1）
設平面MC₁D₁的一個法向量為

n

=（x，y，z）
則

n • MD1 =0 n • MC1 =0

即

-x+ 1 2 z=0 -x+y+ 1 2 z=0

∴取x=1，則z=2即

n

=（1，0，2）
設直線BC₁與平面MC₁D₁所成角為θ，
則sinθ=|cosα|=|

n • BC1

|n| |BC1|

|=|

-1+2

5 × 2

|=

10

10

故選C．

點評：本題主要考查了用空間向量求直線與平面的夾角，以及向量的夾角公式，同時考查了計算能力，屬于中檔題．