Question

14、如果關于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，則實數a的取值范圍是

a＞-1

．

Answer 1

分析：利用不等式的性質對|x-3|-|x-4|進行放縮和分類討論，求出|x-3|-|x-4|的最小值，即可求解．

解答：解：令f（x）=|x-3|-|x-4|，
①x＜3，f（x）=3-x-（4-x）=-1；
②3≤x≤4，f（x）=x-3-（4-x）=2x-7，∴-1≤f（x）≤1；
③x＞4，f（x）=x-3-（x-4）=1，∴f（x）=1，
綜上f（x）≥-1，
∵關于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，
∴a＞-1，
故答案為a＞-1．

點評：此題考查絕對值不等式的放縮問題及函數的恒成立問題，這類題目是高考的熱點，難度不是很大，要注意不等號進行放縮的方向．