Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)時，不等式f （x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）若關(guān)于x的方程f（x）＝x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）遞增區(qū)間是（-2,-1）,（0，+∞），遞減區(qū)間是.

（2）m＞e2﹣2．（3）2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．

【解析】

（1）已知f（x）＝（1+x）2﹣ln（1+x）2求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），然后令f′（x）＝0，解出函數(shù)的極值點，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解；

（2）由題意當(dāng)時，不等式f （x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，從而求出實數(shù)m的取值范圍；

（3）將原式變形轉(zhuǎn)化得方程g（x）＝x﹣a+1﹣2ln（1+x）＝0在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖象，得到，從而求出實數(shù)a的取值范圍．

（1）函數(shù)的定義域為．

∵，

由f′（x）＞0，得x＞0或-2<x<-1；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0或x<-2．

∴f（x）的遞增區(qū)間是（-2,-1）,（0，+∞），遞減區(qū)間是.

（2）∵由，得x＝0，x＝﹣2（舍去）

由（1）知f（x）在上遞減，在[0，e﹣1]上遞增．

又，f（e﹣1）＝e2﹣2，且．

∴當(dāng)時，f（x）的最大值為e2﹣2．

故當(dāng)m＞e2﹣2時，不等式f（x）＜m恒成立．

（3）方程f（x）＝x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）＝0．

記g（x）＝x﹣a+1﹣2ln（1+x），

∵，

由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．

∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．

為使方程f（x）＝x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，

只須g（x）＝0在[0，1]和（1，2]上各有一個實數(shù)根，于是有

∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，

∴實數(shù)a的取值范圍是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．