Question

如圖邊長為4的正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）求：A到平面PBD的距離．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O，再連接MO，根據中位線定理可得到PA∥MO，進而可根據線面平行的判定定理可證；
（2）作QE⊥BD，連接PE，計算PE的長，利用等體積，即可得到結論．

解答：（1）證明：連AC交BD于O，連MO，則ABCD為正方形，所以O為AC中點，M為PC中點，所以MO∥PA，
又PA?平面MBD，MO?平面MBD，∴PA∥平面MBD；
（2）解：作QE⊥BD，連接PE，則
∵正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，Q為AD的中點
∴PQ⊥平面ABCD
∵QE⊥BD，∴PE⊥BD，
∵正方形ABCD的邊長為4，∴PQ=2

3

，QE=

2

，BD=4

2

，∴PE=

14

設A到平面PBD的距離為d，則由等體積可得

1

3

×

1

2

×4×4×2

3

=

1

3

×

1

2

×4

2

×

14

×d
∴d=

4 21

7

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查點到平面的距離，正確運用等體積轉化是關鍵．