Question

（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．  

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）．

本題考查導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的知識．考查學(xué)生對方程、函數(shù)、不等式的綜合問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，屬于綜合題型．
（1）確定出函數(shù)的定義域是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)作為工具，求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即為f'（x）＞0的x的取值區(qū)間；
（2）方法一：利用函數(shù)思想進(jìn)行方程根的判定問題是解決本題的關(guān)鍵．構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)尤其是單調(diào)性，列出該方程有兩個相異的實(shí)根的不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
方法二：先分離變量再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意列出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組進(jìn)行求解
解：（1）函數(shù)的定義域為，………………………………………………1分
∵，     ………………………………………2分
∵，則使的的取值范圍為，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．       ……………………………………………4分
（2）方法1：∵，
∴．      …………………………6分
令，              
∵，且，
由．
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，     ……………………8分
故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實(shí)根      ……10分
即解得：．
綜上所述，的取值范圍是．      ………………………………12分
方法2：∵，
∴．      …………………………6分
即，
令， ∵，且，
由．
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．……………………8分
∵，，，
又，
故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實(shí)根．
……………………………………10分
即．
綜上所述，的取值范圍是．  ……………………………12分