Question

【題目】已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．
（Ⅰ） 若函數g（x）=|f（x）|﹣a有4個零點，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ） 求|f（x+1）|≤4的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）， 則
從而可得函數y=f（x）與y=|f（x）|的圖象分別如下圖所示．

因為函數g（x）=|f（x）|﹣a有4個零點，
則題設可等價轉化為函數y=|f（x）|與函數y=a的圖象有4個交點．
由右上圖可知，a=4或0＜a≤3，
即：當a=4或0＜a≤3時，函數g（x）=|f（x）|﹣a有4個零點．
（Ⅱ）令f（x）=4得， 或﹣1，
因為f（x）是定義在R上的奇函數，當f（x）=﹣4時，解得 或1
結合左上圖可知， ，
即： ．
所以所求解集為
【解析】（Ⅰ）利用f（x）是定義在R上的奇函數，求出函數的解析式，畫出函數y=f（x）與y=|f（x）|的圖象，利用函數g（x）=|f（x）|﹣a有4個零點，轉化為函數y=|f（x）|與函數y=a的圖象有4個交點．推出實數a的取值范圍即可．（Ⅱ）令f（x）=4得， 或﹣1，利用函數f（x）是定義在R上的奇函數，結合圖象，求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．