Question

已知函數f（x）=m-

2

2x+1

為奇函數，g（x）=ax²+5x-2a（a＞0）．
（1）若f（1-x）+f（1-x²）＞0，求x的取值范圍；
（2）對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）=m-

2

2x+1

為奇函數，滿足f（-x）+f（x）=0，可得m的值，進而可分析出函數的單調性，結合函數的奇偶性，將不等式f（1-x）+f（1-x²）＞0化為二次不等式，解答可得答案．
（2）若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，兩個函數的值域滿足[0，

1

3

]⊆[-2a.5-a]，構造關于a的不等式組，解不等式組可得答案．

解答：解：（1）∵函數f（x）=m-

2

2x+1

為奇函數，
∴f（-x）+f（x）=m-

2

2-x+1

+m-

2

2x+1

=2m-

2•2x+2

2x+1

=2m-2=0
解得m=1
∴f（x）=1-

2

2x+1

則f（x）在R為增函數
故f（1-x）+f（1-x²）＞0可化為f（1-x）＞-f（1-x²）
即f（1-x）＞f（x²-1）
即1-x＞x²-1
即x²+x-2=（x+2）（x-1）＜0
解得x∈（-2，1）
（2）當x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[f（0），f（1）]=[0，

1

3

]
∵函數g（x）=ax²+5x-2a（a＞0）的圖象是開口朝上，且以直線x=-

5

2a

為對稱軸的拋物線．
∴函數g（x）=ax²+5x-2a（a＞0）在[0，1]上為增函數
當x₂∈[0，1]時，g（x₂）∈[g（0），g（1）]=[-2a.5-a]
若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
則[0，

1

3

]⊆[-2a.5-a]
即

a＞0 -2a≤0 5-a≥ 1 3

解得：a∈（0，

14

3

]

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，存在性問題，是函數圖象和性質的綜合應用，難度均大．