Question

[1]已知矩陣，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為，屬于特征值1的一個特征向量為．
（1）求矩陣A，并寫出A的逆矩陣；
（2）若向量，試計算M⁵⁰β．
[2]已知是定義在區間[-1，1]上的函數，設x₁，x₂∈[-1，1]且x₁≠x₂．
（1）求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|；
（2）若a²+b²=1，求證：．

Answer 1

【答案】分析：[1]（1）由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁=可得，c+d=6；由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α₂=，
可得3c-2d=-2，由此能求出矩陣A和A的逆矩陣．
（2）令β=mα₁+nα₂可解得m=5，n=-1，即β=5α₁-α₂．由此能求出M⁵⁰β．
[2]（1），由此可證明|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|；
（2）由此能夠推導出．
解答：解：[1]（1）由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁=可得，
=6，即c+d=6；（1分）
由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α₂=，
可得=，即3c-2d=-2，（2分）
解得即A=，（3分）
A逆矩陣是．（5分）
（2）令β=mα₁+nα₂可解得m=5，n=-1，即β=5α₁-α₂．（7分）
所以M⁵⁰β=M⁵⁰（5α₁-α₂）
=5（M⁵⁰α₁）-（M⁵⁰α₂）
=5（λ₁⁵⁰α₁）-（λ₂⁵⁰α₂）
=．（10分）
（選修4-5：不等式選講）
證：[2]（1）
∵|x₁+x₂|≤|x₁|+|x₂|，，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．（5分）
（2），
∵a²+b²=1，
∴．（10分）
點評：本題考查二階行列式的性質和應用，解題時要認真審題，仔細求解，注意公式的靈活運用．