Question

已知3sin²α+2sin²β=2sinα，則sin²α+sin²β的取值范圍是

[0，

4

9

]

．

Answer 1

分析：由3sin²α+2sin²β=2sinα，可得sin²β=sinα-

3

2

sin²α，代入所求的式子，由sin²β≥0可確定sinα的范圍，從而通過配方即可解決問題．

解答：解：∵3sin²α+2sin²β=2sinα，
∴sin²β=sinα-

3

2

sin²α≥0，
∴0≤sinα≤

2

3

；
∴sin²α+sin²β=sin²α+sinα-

3

2

sin²α=-

1

2

（sinα-1）2+

1

2

，
∵0≤sinα≤

2

3

；
∴-

1

2

（sinα-1）2+

1

2

∈[0，

4

9

]．
故答案為：[0，

4

9

]．

點評：本題考查正弦函數的定義域和值域，難點在于利用正弦函數的定義域和值域求二次函數在閉區間上的最值，屬于中檔題．