Question

選修4-5：不等式選講
若關于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有實根
（1）求實數a的取值集合A
（2）若存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據關于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有實根，可得△≥0，解不等式即可求得結果；
（2）存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，構造函數f（a）=t²-2a|t|+12，轉化為函數的最小值小于零即可，解此不等式即可求得實數t的取值范圍．

解答：解：（1）∵關于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有實根，
∴△=16-4（|a|+|a-3|）≥0，
即-

1

2

≤a≤

7

2

，
∴A=[-

1

2

，

7

2

]；
（2）令f（a）=t²-2a|t|+12，
∵存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，
∴f（a）_min＜0即可，即f（

7

2

）=t²-7|t|+12＜0，
∴3＜|t|＜4，
∴-4＜t＜-3或3＜t＜4．

點評：本題考查二次函數的根的問題，別更主元，構造函數f（a）=t²-2a|t|+12，轉化為函數的最小值是解題的關鍵和難點，考查運算能力和轉化能力，屬中檔題．