Question

已知：數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N*）
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），而T_n為數列{

bn

an+2

}的前n項和，求T_n．

Answer 1

（1）當n∈N*時，S_n=2a_n-2n，①則當n≥2，n∈N*時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）∴

an+2

an-1+2

=2．
當n=1 時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，當n=2時，a₂=6，∴{a_n+2}是以a₁+2為首項，以2為公比的等比數列．
∴a_n+2=4•2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺¹-2，（7分）
（2）由b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
則T_n=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，③

1

2

Tn=

2

23

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，④
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

+

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

∴T_n=

3

2

-

n+3

2n+1

（14分）