Question

已知函數f（x）=ax³+bx²（x∈R）的圖象過點P（-1，2），且在點P處的斜線斜率為-3，
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,有理數指數冪的化簡求值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出f（x）的導數，由條件可得切線的斜率，代入P點，得到a，b的方程，解得即可；
（2）求得f（x）的導數，令導數的大于0，解二次不等式即可得到增區(qū)間．

解答： 解：（1）函數f（x）=ax³+bx²的導數為f′（x）=3ax²+2bx，
由在點P處的斜線斜率為-3，即有3a-2b=-3，
f（x）的圖象過點P（-1，2），即有-a+b=2，
解得a=1，b=3，
則f（x）=x³+3x²；
（2）函數f（x）=x³+3x²的導數為f′（x）=3x²+6x，
令f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-2．
即有f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），（-∞，-2）．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和求單調區(qū)間，運用導數的幾何意義：函數在某點處的導數即為曲線在該點處切線的斜率和二次不等式的解法是解題的關鍵．