Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都相等，P為A₁B上的點，，且PC⊥AB．
（1）求λ的值；
（2）求異面直線PC與AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出正三棱柱的棱長，以底面上一邊的中點為原點建立坐標系，寫出要用的各個點的坐標，得到向量的坐標，根據向量的垂直關系，要求的實數的值．
（2）在兩條異面直線上構造兩個向量，根據兩個向量的坐標，寫出兩個向量的夾角的余弦，是一個負值，根據異面直線所成的角是不大于90°的角，得到余弦值．
解答：解：（1）設正三棱柱的棱長為2，建立如圖所示的直角坐標系，
則：A（0，-1，0），，C（0，1，0），A₁（0，-1，2），
，C₁（0，1，2），
∴，，，
∵PC⊥AB，
∴，，，
（2）由（1）知：，，，
∴異面直線PC與AC₁所成角的余弦值是．
點評：本題考查用空間向量解決立體幾何中的夾角和距離的問題，是一個典型的題目，解題的關鍵是要用的點的坐標比較多，寫起來比較繁瑣，注意不要出錯．