Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的四個頂點，F為其右焦點，直線A₁B₂與直線B₁F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為（　　）

• A、2

  7

  -5
• B、

  2 7 +1

  9

• C、

  7

  -

  5

  2

• D、

  2 7 -1

  9

Answer 1

分析：對橢圓進行壓縮變換，x′=

x

a

，y′=

y

b

，橢圓變為單位圓：x^'2+y^'2=1，F'（

c

a

，0）．根據題設條件求出直線B₁T方程，直線直線B₁T與x軸交點的橫坐標就是該橢圓的離心率．

解答：解：對橢圓進行壓縮變換，x′=

x

a

，y′=

y

b

，
橢圓變為單位圓：x^'2+y^'2=1，F'（

c

a

，0）．
延長TO交圓O于N
易知直線A₁B₁斜率為1，TM=MO=ON=1，A1B2=

2

，
設T（x′，y′），則 TB2=

2

x′，y′=x′+1，
由割線定理：TB₂×TA₁=TM×TN

2

x′(

2

x′+

2

)   =1×3，
x′=

7 -1

2

（負值舍去）
y′=

7 +1

2

易知：B₁（0，-1）
直線B₁T方程：

y′+1

x′

=

7 +1 2 +1

7 -1 2

令y′=0
x′=2

7

-5，即F橫坐標
即原橢圓的離心率e=

c

a

=2

7

-5．
故選A．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，考查了橢圓的標準方程．涉及了直線與橢圓的關系，解題時要認真審題，仔細解答．