Question

已知橢圓

x2

m

+

y2

n

=1與雙曲線

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦點F₁、F₂，P是橢圓和雙曲線的一個交點，則|PF₁|•|PF₂|=

m-p

．

Answer 1

分析：先橢圓

x2

m

+

y2

n

=1與雙曲線

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦點F₁、F₂，得到m-n=p+q；再根據點P為橢圓和雙曲線的一個交點結合定義求出|PF₁|與|PF₂|的表達式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．

解答：解：因為橢圓

x2

m

+

y2

n

=1與雙曲線

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦點F₁、F₂，
所以有：m-n=p+q；
設P在雙曲線的右支上，左右焦點F₁、F₂：
利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2

m

①
|PF₁|-|PF₂|=2

p

②
由①②得：|PF₁|=

m

+

p

，|PF₂|=m

m

-

p

．
∴|PF₁|•|PF₂|=m-p．
故答案為：m-p．

點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關鍵在于根據橢圓

x2

m

+

y2

n

=1與雙曲線

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦點F₁、F₂，得到m-n=p+q，屬中檔題．