Question

已知數列{a_n}為等差數列，數列{b_n}為等比數列．
（1）若a_n=

lgb 1+lgb2+…+lgbn

n

（其中b₁=1，b_n＞0，n∈N^*），試求數列{a_n}的公差d與數列{b_n}的公比q之間的關系式；
（2）若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n2ⁿ⁺³，且a₁=8，試求數列{a_n}與{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的通項公式及對數的運算性質可把a_n化為lgb1q

n-1

2

，同理可化a_n+1為lgb1q

n

2

，根據a_n+1-a_n=d可得d與q的關系式；
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n2ⁿ⁺³，①得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n+a_n+1b_n+1=（n+1）2ⁿ⁺⁴，②兩式相減得a_n+1b_n+1=（n+2）2ⁿ⁺³，把a_n+1=8+nd代入上式可表示出b_n+1，根據

bn+2

bn+1

為常數可得等式，解出即可；

解答：解：（1）a_n=

lgb 1+lgb2+…+lgbn

n

=

lgb1b2…bn

n

=

lgb1nq n(n-1) 2

n

=

nlgb1q n-1 2

n

=lgb1q

n-1

2

，
an+1=

lgb1+lgb2+…+lgbn+1

n+1

=

lgb1n+1q n(n+1) 2

n+1

=

(n+1)lgb1q n 2

n+1

=lgb1q

n

2

，
∴a_n+1-a_n=lgb1q

n

2

-lgb1q

n-1

2

=lg

b1q n 2

b1q n-1 2

=lgq

1

2

=d，
∴10^2d=q；
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n2ⁿ⁺³，①
得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n+a_n+1b_n+1=（n+1）2ⁿ⁺⁴，②
②-①得a_n+1b_n+1=（n+2）2ⁿ⁺³，
∵a_n+1=8+nd，∴bn+1=

(n+2)•2n+3

8+nd

，
則

bn+2

bn+1

=

(n+3)•2n+4(8+nd)

(n+2)•2n+3[8+(n+1)d]

=

2(n+3)(8+nd)

(n+2)[8+(n+1)d]

=

2dn2+(6d+16)n+48

dn2+(3d+8)n+2d+16

，
∵{b_n}為等比數列，∴上述比式為常數，
則2d：d=（6d+16）：（3d+8）=48：（2d+16），
解得d=4，則q=2，
故a_n=8+（n-1）×4=4n+4，
由a1b1=24，得b₁=2，∴bn=2•2n-1=2n．

點評：本題考查等差數列、等比數列的定義及其通項公式，運算量較大，對能力要求較高．