Question

（2012•煙臺三模）已知函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若2xlnx≤2mx²-1在[1，e]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，對參數(shù)a進行討論，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最大值，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導函數(shù)，可得f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

(x＞0)
當a＜0時，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當a≥0時，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．        …（4分）
（Ⅱ）2xlnx≤2mx²-1，得到

lnx

x

+

1

2x2

≤m
令函數(shù)g(x)=

lnx

x

+

1

2x2

，求導數(shù)，可得g′(x)=

1-lnx- 1 x

x2

a=-1時，f(x)=lnx+

1

x

，x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴f（x）≥f（1）=1，即lnx+

1

x

≥1，∴g′(x)=

1-lnx- 1 x

x2

≤0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)g(x)=

lnx

x

+

1

2x2

在[1，e]上的最大值為

1

2

∴在[1，e]上，若

lnx

x

+

1

2x2

≤m恒成立，則m≥

1

2

．…（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值．