Question

已知橢圓E：＋＝1.

(1)直線l：y＝x＋m與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

(2)以橢圓E的焦點(diǎn)F₁、F₂為焦點(diǎn)，經(jīng)過直線l′：x＋y＝9上一點(diǎn)P作橢圓C，當(dāng)C的長軸最短時(shí)，求C的方程．

Answer 1

解：　(1)直線l與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn)的條件是：

方程組有兩組不同解，

消去y，得

3x²＋4mx＋2m²－8＝0.

∴Δ＝16m²－12(2m²－8)>0，

－2<m<2.

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2，2)．

(2)依題意，F₁(－2,0)、F₂(2,0)．

作點(diǎn)F₁(－2,0)關(guān)于l′的對(duì)稱點(diǎn)F₁′(9,11)．

設(shè)P是l′與橢圓的公共點(diǎn)，則2a＝|PF₁|＋|PF₂|

＝|PF′₁|＋|PF₂|≥|F′₁F₂|＝＝.

∴(2a)_min＝，

此時(shí)，a²＝＝，b²＝a²－c²＝.

∴長軸最短的橢圓方程是＋＝1.