Question

【題目】某公司研制出了一種新產品，試制了一批樣品分別在國內和國外上市銷售，并且價格根據銷售情況不斷進行調整，結果40天內全部銷完．公司對銷售及銷售利潤進行了調研，結果如圖所示，其中圖①(一條折線)、圖②(一條拋物線段)分別是國外和國內市場的日銷售量與上市時間的關系，圖③是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關系．

(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時間t的關系及國內市場的日銷售量g(t)與上市時間t的關系；

(2)國外和國內的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6 300萬元？若有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) 見解析

【解析】試題分析：（1）由圖一中國外市場的日銷售量f（t）是一個分段函數，圖二中在兩段上均為一次函數，國內市場的日銷售量g（t）是二次函數，利用選定系數法易求出國外市場的日銷售量f（t）、國內市場的日銷售量g（t）與第一批產品A上市時間t的關系式；（2）由圖三中產品A的銷售利潤h（t）與上市時間t的關系，我們可求出家公司的日銷售利潤為F（t）的解析式，分析函數的單調性后，結合函數的單調性可得第一批產品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤超過6300萬元．

試題解析：

(1)圖①是兩條線段，由一次函數及待定系數法，

得f(t)＝

圖②是一個二次函數的部分圖象，

故g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．

(2)每件樣品的銷售利潤h(t)與上市時間t的關系為h(t)＝

故國外和國內的日銷售利潤之和F(t)與上市時間t的關系為

F(t)＝

當0≤t≤20時，F(t)＝3t ＝－t3＋24t2，

∴F′(t)＝－t2＋48t＝t ≥0，

∴F(t)在[0,20]上是增函數，

∴F(t)在此區間上的最大值為F(20)＝6000<6300.

當20<t≤30時，F(t)＝60.

由F(t)＝6300，得3t2－160t＋2100＝0，

解得t＝ (舍去)或t＝30.

當30<t≤40時，F(t)＝60.

由F(t)在(30,40]上是減函數，

得F(t)<F(30)＝6300.

故國外和國內的日銷售利潤之和可以恰好等于6300萬元，為上市后的第30天．