Question

選做題（請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按做的第一題評閱計分）
（1）（極坐標與參數方程）在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為（θ為參數，r＞0）．以O為極點，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長度建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．當圓C上的點到直線l的最大距離為4時，圓的半徑r=________．
（2）（不等式）對于任意實數x，不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立時，若實數a的最大值為3，則實數m的值為________．

Answer 1

解：（1）圓的直角坐標方程為（x+）²+（y+）²=r²，
圓心的直角坐標（-，-）．
直線l的極坐標方程為ρsin（θ+）=1即為x+y-=0，
圓心O（-，-）到直線的距離d=．
圓O上的點到直線的最大距離為 3+r=4，解得r=1．
（2）解：（1）設f（x）=|2x+m|+|x-1|=2|x+|+|x-1|，
當≥-1時，
則有f（x）=，
其圖象如圖所示，當x=-時，取得最小值f（-）=+1；
當＜-1時，
則有f（x）=，
當x=-時，取得最小值f（-）=；
由題意，若實數a的最大值為3，則+1=3或=3，
∴m=4或m=-8．
∴實數m的值為 4或-8
故答案為：1；4或-8．
分析：（1）將直線和圓的方程化為直角坐標方程，利用直線和圓的位置關系求解．
（2）要使不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立，需f（x）=|2x+m|+|x-1|的最小值大于或等于a，問題轉化為求f（x）的最小值，從而解決問題．
點評：本題考查極坐標、參數方程與普通方程互化、絕對值不等式的解法，以及恒成立問題，體現了等價轉化的數學思想．