Question

（強化班）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過（1，1）與(

6

2

，

3

2

)兩點，過原點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

為定值；
（3）是否存在定圓，使得直線l繞原點轉動時，AM恒與該定圓相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為mx²+ny²=1，把點（1，1）與(

6

2

，

3

2

)代入橢圓方程解出即可；
（2）根據條件|MA|=|MB|，可知M在線段AB的垂直平分線上，同時A，B關于原點對稱．
若A，B在橢圓的短軸頂點上，則點M在橢圓的長軸頂點上．容易得出

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2．
若A，B，M不是橢圓的頂點，不妨設A(x1，kx1)，M(x2，-

1

k

x2)，代入橢圓方程可得

x

2 1

=

3

1+2k2

，同樣得出結論．
（3）根據對稱性，如果圓存在，則圓心在坐標原點，根據（2）當A，B，M不在橢圓的頂點上時，不妨設A(x1，kx1)，M(x2，-

1

k

x2)，
則直線AM的方程為y-kx1=

kx1+ 1 k x2

x1-x2

(x-x1)，利用點到直線的距離公式證明原點到直線l的距離為定值即可．

解答：解：（1）設橢圓方程為mx²+ny²=1，把點（1，1）與(

6

2

，

3

2

)代入橢圓方程可得

m+n=1 3 2 m+ 3 4 n=1

，解得

m= 1 3 n= 2 3

．
故橢圓方程為

x2

3

+

2y2

3

=1．
（2）根據條件|MA|=|MB|，可知M在線段AB的垂直平分線上，
同時A，B關于原點對稱．
若A，B在橢圓的短軸頂點上，則點M在橢圓的長軸頂點上．
這時

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2(

1

a2

+

1

b2

)=2(

1

3

+

2

3

)=2．
若A，B，M不是橢圓的頂點，
不妨設A(x1，kx1)，M(x2，-

1

k

x2)，
代入橢圓方程得

x 2 1

3

+

2

3

(kx1)2=1，
解得

x

2 1

=

3

1+2k2

，
所以OA2=OB2=(1+k2)

3

1+2k2

=

3(1+k2)

1+2k2

．
同時可得|OM|²=

3(1+ 1 k2 )

1+2× 1 k2

=

3(1+k2)

k2+2

，
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=

2(1+2k2)

3(1+k2)

+

2(k2+2)

3(1+k2)

=

2(3k2+3)

3(1+k2)

=2
綜上可知：不論A，B位置如何，總有

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=2．
（3）根據對稱性，如果圓存在，則圓心在坐標原點，
根據（2）當A，B，M不在橢圓的頂點上時，
不妨設A(x1，kx1)，M(x2，-

1

k

x2)，
則直線AM的方程為y-kx1=

kx1+ 1 k x2

x1-x2

(x-x1)，
化為一般式為(kx1+

1

k

x2)x-(k+

1

k

)x1x2=0，
原點O到直線AM的距離為d=

|(k+ 1 k )x1x2|

(kx1+ 1 k x2)2+(x1-x2)2

=

[(k+ 1 k )x1x2]2 (kx1+ 1 k x2)2+(x1-x2)2

由（2）可得

x

2 1

=

3

1+2k2

，

x

2 2

=

3k2

k2+2

，代入上式化簡可得d=1．
又A，B，M落在橢圓的頂點上時，可得原點到AM的距離d=

OA•OM

AM

=

ab

a2+b2

=1
綜上，不論直線l如何轉動，原點到直線AM的距離始終為1，
∴存在定圓x²+y²=1，使得直線l繞原點轉動時，AM恒與該圓相切．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得出其交點坐標、線段的垂直平分線的性質、點到直線的距離公式、圓的切線方程等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．