Question

如圖1，在邊長為3的正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE=CF=CP=1，今將△BEP、△CFP分別沿EP、FP向上折起，使邊BP與邊CP所在的直線重合（如圖2），B、C折后的對應點分別記為B、C₁．
（1）求證：PF⊥平面B₁EF；
（2）求AB₁與平面AEPF所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EF，根據已知條件我們根據勾股定理及等腰三角形形的性質，我們可以得到PF⊥EF，PF⊥B₁F，結合直線與平面垂直的判定定理，即可得到PF⊥平面B₁EF；
（2）連接AB₁，作B₁O⊥EF于O，結合（1）的結論，我們可得平面B₁EF⊥平面AEPF，進而得到B₁O⊥平面EPF，即∠B₁AO就是AB₁與平面AEPF所成的角，解三角形B₁AO即可求出AB₁與平面AEPF所成的角的正弦值．
解答：解：（1）證明：連接EF，由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，
故PF⊥EF，又FC₁=PB₁，
故PF⊥B₁F，
∵EF∩B₁F=F，故PF⊥平面B₁EF；
（2）連接AB₁，作B₁O⊥EF于O，
由（1）知PF⊥平面B₁EF，而PF?平面AEPF，
故平面B₁EF⊥平面AEPF
∵平面B₁EF∩平面AEPF=EF
∴B₁O⊥平面EPF
∠B₁AO就是AB₁與平面AEPF所成的角
∵AE∥PF，∴AE⊥EB₁，
∵AE=1，EB₁=2
∴B₁A=
在△B₁EF中，B₁E=2，B₁F=EF==
∴cos∠B₁FE=
則B₁O=B₁F•sin∠B₁FE=
故sin∠B₁AO==
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得PF⊥EF，PF⊥B₁F，（2）的關鍵是確定∠B₁AO就是AB₁與平面AEPF所成的角．