Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分別為BB₁、AC₁的中點，
（Ⅰ）證明：ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線；
（Ⅱ）設AA₁=AC=AB，求二面角A₁-AD-C₁的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明：設O為AC中點，連結EO，BO，則EOC1C， 又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB， ∵AB=BC， ∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC， 故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線。 （Ⅱ）解：連結A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1為正方形， ∴A1E⊥AC1， 又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1， ∴A1E⊥平面ADC1，作EF⊥AD，垂足為F，連結A1F， 則A1F⊥AD，∠A1FE為二面角A1-AD-C1的平面角， 不妨設AA1=2，則AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=， tan∠A1FE=， ∴∠A1FE=60°， 所以二面角A1-AD-C1為60°。