Question

已知函數.

（1）當時，求曲線在點的切線方程；

（2）對一切,恒成立,求實數的取值范圍；

（3）當時，試討論在內的極值點的個數.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)實數的取值范圍為；

(3)當，在內的極值點的個數為1；當時, 在

內的極值點的個數為0.

【解析】

試題分析：(1)切點的導函數值，等于過這點的切線的斜率，由直線方程的點斜式即得所求.

(2)由題意:,轉化成，只需確定的最大值.

設,利用導數研究其最大值.

(3)極值點處的導函數值為零.

問題可轉化成研究在內零點的個數.

注意到， ，因此，討論，時，在內零點的個數，使問題得解.

本題主要考查導數的應用，方法比較明確，分類討論、轉化與化歸思想的應用，是解決問題的關鍵.

試題解析：(1) 由題意知,所以

又，

所以曲線在點的切線方程為 4分

(2)由題意:,即

設,則

當時,；當時,

所以當時，取得最大值

故實數的取值范圍為. 9分

(3) ，，

①當時, ∵

∴存在使得

因為開口向上，所以在內,在內

即在內是增函數, 在內是減函數

故時，在內有且只有一個極值點, 且是極大值點. 11分

②當時,因

又因為開口向上

所以在內則在內為減函數，故沒有極值點 13分

綜上可知：當，在內的極值點的個數為1；當時, 在

內的極值點的個數為0. 14分

考點：應用導數研究函數的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想，函數零點存在定理.