Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB=4，AD=3，沿AC把△ACD折起，使二面角D₁-AC-B為直二面角，求二面角D₁-BC-A的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：以點B為坐標原點，平面ABC為xOy平面，BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出二面角D₁-BC-A的大小．

解答： 解：以點B為坐標原點，平面ABC為xOy平面，
BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，
建立空間直角坐標系．
則B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，2，0）．
在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，
則H即為D₁在平面ABC上的射影．
∵AB=2，AD=1，∴AC=

5

，

DH

=

2

5

，HN=

1

5

，HM=

8

5

，
∴D₁（

1

5

，

8

5

，

2 5

5

），

BC

=（1，0，0），

BD1

=（

1

5

，

8

5

，

2 5

5

），
設平面D₁BC的法向量為

n

=（a，b，c），
則

n • BC =a=0 n • BD1 =a+8b+2 5 c=0

，取b=

5

，得

n

=（0，

5

，-4），
又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），
|cos＜

m

，

n

＞|=|

-4

5+16

|=

4 21

21

，
∴二面角D₁-BC-A的大小為arccos

4 21

21

．

點評：本題考查二面角的大小的求法，是檔題題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．