Question

已知函數f（x）滿足：f（-x-1）是奇函數，且f（x+1）+f（-x+3）=0，若f（x+φ）=f（x），φ是非零常數，k∈Z^*，則φ的值一定是（　　）

A．3k

B．6k

C．8k

D．12k

Answer 1

分析：根據等式f（x+1）+f（-x+3）=0進行變量代換，得f（x-1）+f（5-x）=0．根據f（-x-1）是奇函數得f（-x-1）+f（x-1）=0，從而得到f（5-x）=f（-x-1），得到函數f（x）是周期為6的函數，由此可得答案．

解答：解：∵f（x+1）+f（-x+3）=0，
∴用x-2代替x，得f（x-1）+f（5-x）=0，
又∵f（-x-1）是奇函數，可得f（-x-1）+f（x-1）=0
∴f（5-x）=f（-x-1），即f[（-x-1）+6]=f（-x-1）
由此可得f（x+6）=f（x），即函數f（x）是周期為6的函數
因此，當f（x+φ）=f（x）成立時，必定有φ=6k（k∈Z^*）
故選：B

點評：本題給出抽象函數，求函數的最小正周期，考查了函數的奇偶性與周期性及其相互關系的知識，屬于中檔題．