Question

對于函數f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在實數a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x），f₂（x）的生成函數．
（1）下面給出兩組函數，h（x）是否分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數？并說明理由．
第一組：；
第二組：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）設，生成函數h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求實數t的取值范圍．
（3）設，取a＞0，b＞0生成函數h（x）圖象的最低點坐標為（2，8）．若對于任意正實數x₁，x₂且x₁+x₂=1，試問是否存在最大的常數m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出這個m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）化簡h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），使得與相同，求出a，b判斷結果滿足題意；類似方法計算判斷第二組．
（2）設，生成函數化簡不等式h（4x）+t•h（2x）＜0，在x∈[2，4]上有解，就是求的最大值，即可．
（3）由題意得，，則，由于生成函數h（x）圖象的最低點坐標為（2，8）．故，可求得所以函數．假設存在最大的常數m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．即有，從而轉化為求u的最小值即可．
解答：解：（1）①設，即
取，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函數．
②設a（x²+x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²+（a+b）x+b=x²-x+1，則，該方程組無解．
所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函數．…（4分）
（2）h（4x）+t•h（2x）＜0，即log₂（4x）+t•log₂（2x）＜0
所以，（2+log₂x）+t（1+log₂x）＜0．因為x∈[2，4]，所以1+log₂x∈[2，3]
則，函數在[2，4]上單調遞增，所以
故． …（10分）
（3）由題意得，，則，
故，解得所以． …（12分）
假設存在最大的常數m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．
于是設=
=
設t=x₁x₂，則，即
設
因為，所以，在上單調遞減，從而
故存在最大的常數m=289…（16分）
點評：本題考查其他不等式的解法，函數的概念及其構成要素，函數恒成立問題，考查值思想，分類討論，計算能力，函數與方程的思想，是中檔題．