Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長相等，M是CC₁的中點，則直線AB₁和BM所成的角的大小是（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長等于2，延長MC₁到N使MN=BB₁，連接AN．可得∠AB₁N（或其補角）就是異面直線AB₁和BM所成角，然后在△AB₁N中分別算出三條邊的長，利用余弦定理得cos∠AB₁N=0，可得∠AB₁N=90°，從而得到異面直線AB₁和BM所成角．

解答： 解：設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長等于2，延長MC₁到N使MN=BB₁，連接AN，
∵MN∥BB₁，MN=BB₁，
∴四邊形BB₁NM是平行四邊形，可得B₁N∥BM
因此，∠AB₁N（或其補角）就是異面直線AB₁和BM所成角
∵Rt△B₁C₁N中，B₁C₁=2，C₁N=1，
∴B₁N=

5

，
∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=

13

，
又∵正方形AA₁B₁B中，AB₁=2

2

，
∴△AB₁N中，cos∠AB₁N=

AB12+B1N2-AN2

2AB1×B1N

=

8+5-13

4 2 × 5

=0，可得∠AB₁N=90°
即異面直線AB₁和BM所成角為90°．
故選D．

點評：本題考查了在所有棱長均相等的正三棱柱中，求異面直線所成的角大小，著重考查了正三棱柱的性質、余弦定理和異面直線所成角求法等知識，屬于基礎題．