Question

如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b＜a)，AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，記四邊形EFGH的面積為f(x)．

(1)求f(x)的解析式和定義域；

(2)當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設四邊形EFGH的面積為S， 　　則S△AEH＝S△CFG＝x2　　2分 　　S△BEF＝S△DGH＝(a－x)(b－x)　　4分 　　∴S＝ab－2[x2＋(a－x)(b－x)]＝－2x2＋(a＋b)x＝－2(x－2＋　　6分 　　由圖形知函數的定義域為{x|0＜x≤b}　　8分 　　(2)因為0＜b＜a，所以0＜b＜， 　　若≤b，即a≤3b時，則當x＝時，S有最大值　　11分 　　若＞b，即a＞3b時，S(x)在(0，b]上是增函數， 　　此時當x＝b時，S有最大值為－2(b－)2＋＝ab－b2　　14分 　　綜上可知，當a≤3b時，x＝時，四邊形面積Smax＝， 　　當a＞3b時，x＝b時，四邊形面積Smax＝ab－b2　　15分