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(04年湖北卷理)(12分)

如圖,在棱長為1的正方體ABCD―A1B1C1D1中,點E是棱BC的中點,點F是棱

CD上的動點.

(I)試確定點F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;

(II)當D­1E⊥平面AB1F時,求二面角C1―EF―A的大小(結果用反三角函數值表示).

 

解析:解法一:(I)連結A1B,則A1B是D1E在面ABB1A;內的射影

    ∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1

       于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.

       連結DE,則DE是D1E在底面ABCD內的射影.

       ∴D1E⊥AFDE⊥AF.

       ∵ABCD是正方形,E是BC的中點.

       ∴當且僅當F是CD的中點時,DE⊥AF,

       即當點F是CD的中點時,D1E⊥平面AB1F.…………6分

(II)當D1E⊥平面AB1F時,由(I)知點F是CD的中點.

       又已知點E是BC的中點,連結EF,則EF∥BD. 連結AC,

       設AC與EF交于點H,則CH⊥EF,連結C1H,則CH是

       C1H在底面ABCD內的射影.

       C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1―EF―C的平面角.

       在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=AC=

       ∴tan∠C1HC=.

       ∴∠C1HC=arctan,從而∠AHC1=.

       故二面角C1―EF―A的大小為.

       解法二:以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


(1)設DF=x,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),

       A1(0,0,1),B(1,0,1),D1(0,1,1),E,F(x,1,0)

      

       (1)當D1E⊥平面AB1F時,F是CD的中點,又E是BC的中點,連結EF,則EF∥BD. 連結AC,設AC與EF交于點H,則AH⊥EF. 連結C1H,則CH是C1H在底面ABCD內的射影.

       ∴C1H⊥EF,即∠AHC1是二面角C1―EF―A的平面角.

      

      

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