Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過F做雙曲線C的一條漸近線的垂線，與雙曲線交于M，垂足為N，若M為線段FN的中點，則雙曲線C的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據題意可表示出漸近線方程，進而可知FN的斜率，設出N的坐標代入漸近線方程求得x的表達式，則N的坐標可知，進而求得M的表達式，代入雙曲線方程整理求得a和c的關系式，進而求得離心率．

解答：解：設F（c，0）相應的漸近線：y=

b

a

x，
則根據直線FN的斜率為-

a

b

，設N（x，

b

a

x），代入雙曲線漸近線方程求出x=

a2

c

，
則N（

a2

c

，

ab

c

），則M（

a2+c2

2c

，

ab

2c

），
把M點坐標代入雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1中，整理求得

c

a

=

2

，即離心率為

2

故答案為：

2

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．解題的關鍵是通過分析題設中的信息，找到雙曲線方程中a和c的關系．