Question

【題目】某地需要修建一條大型輸油管道通過120公里寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）。經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的工程費(fèi)用為400萬元，鋪設(shè)距離為公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費(fèi)用為萬元。設(shè)余下工程的總費(fèi)用為萬元。

（I）試將表示成關(guān)于的函數(shù)；

（II）需要修建多少個(gè)増壓站才能使總費(fèi)用最小？

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）5個(gè)

【解析】

(Ⅰ)依題意可知余下工程有段管道，有個(gè)增壓站，即可求得余下工程的總費(fèi)用，得到函數(shù)的解析式；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，求得，令，解得，

得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．

(Ⅰ)依題意可知余下工程有段管道，有個(gè)增壓站，

故余下工程的總費(fèi)用為，

所以將表示成關(guān)于的函數(shù) ，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，有，

令，解得，

隨的變化情況如下表：

		20
		極小

由上表易知，函數(shù)在時(shí)取得最小值，此時(shí)，

故需要修建5個(gè)増壓站才能使總費(fèi)用最小．