Question

已知函數f（x）=x（x-1）（x-a）有絕對值相等，符號相反的極大值和極小值，試確定常數a的值．

Answer 1

【答案】分析：先求利用導數求出極值點，根據根與系數的關系表示出極值點滿足的條件，再利用極大值與極小值互為相反數建立等量關系，求出常數a即可．
解答：解：f（x）=x（x-1）（x-a）=x³-（a+1）x²+ax，
∴f′（x）=3x²-2（a+1）x+a，
令f′（x）=0，得3x²-2（a+1）x+a=0，
由題意，該方程必定有不相等兩實根，可分別設為m，n，
則，，
∴f（m）+f（n）=m³+n³-（a+1）（m²+n²）+a（m+n）
=（m+n）³-3mn（m+n）-（a+1）[（m+n）²-2mn]+a（m+n）
=
∴a=-1或a=2或．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及根與系數的關系的應用，屬于基礎題．