【題目】設
，函數
，
（
為自然對數的底數），且函數
的圖象與函數
的圖象在
處有公共的切線.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）討論函數
的單調性；
（Ⅲ）證明：當
時，
在區間
內恒成立.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）詳見解析
【解析】
試題分析：（Ⅰ）由導數幾何意義得
，分別求導得（Ⅱ）由于
，所以根據導函數是否變號進行討論：當
時，
，
在定義域內單調遞增，當
時，先增后減再增（Ⅲ）證明不等式恒成立問題，一般轉化為對應函數最值問題，即證
的最小值大于零，利用導數研究函數單調性：
時，在區間
內單調遞減，從而
試題解析：（Ⅰ）
，
由
，得.……………………………………2分
（Ⅱ）
，
當時，即
時，，從而函數在定義域內單調遞增，
當時，
，此時
若
，
，則函數
單調遞增；
若
，
，則函數
單調遞減；
若
時，
，則函數
單調遞增.……………………6分
（Ⅲ）令
，則
.
，令
，則
.
當
時，
，
又當
時，
，從而
單調遞減；
所以
.
故當
時，
單調遞增；
又因為
，故當
時，
，
從而函數
在區間單調遞減；
又因為
所以
在區間恒成立.…………14分
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地擬建一座長為640米的大橋
，假設橋墩等距離分布，經設計部門測算，兩端橋墩
造價總共為100萬元，當相鄰兩個橋墩的距離為
米時（其中
）．中間每個橋墩的平均造價為
萬元，橋面每1米長的平均造價為
萬元．
（1）試將橋的總造價表示為
的函數
；
（2）為使橋的總造價最低，試問這座大橋中間（兩端橋墩除外）應建多少個橋墩？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商店為了更好地規劃某種商品進貨的量，該商店從某一年的銷售數據中，隨機抽取了
組數據作為研究對象，如下圖所示（
（噸）為該商品進貨量， 
（天）為銷售天數）：
（Ⅰ）根據上表數據在下列網格中繪制散點圖：
（Ⅱ）根據上表提供的數據，求出
關于
的線性回歸方程
；
（Ⅲ）根據（Ⅱ）中的計算結果，若該商店準備一次性進貨該商品
噸，預測需要銷售天數；
參考公式和數據： 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在對人們休閑方式的一次調查中，共調查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動．
（Ⅰ）根據以上數據建立一個2×2列聯表；
（Ⅱ）能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別與休閑方式有關系？
附： 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸上，點
在直線
上，且滿足
（Ⅰ）當點
在
軸上移動時，求點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）過點
做直線
與軌跡
交于
兩點，若在
軸上存在一點
，使得
是以點
為直角頂點的直角三角形，求直線
的斜率
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地自來水苯超標，當地自來水公司對水質檢測后，決定在水中投放一種藥劑來凈化水質，已知每投放質量為
的藥劑后，經過
天該藥劑在水中釋放的濃度
（毫克/升）滿足
，其中
，當藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）時稱為有效凈化；當藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時稱為最佳凈化.
（Ⅰ）如果投放的藥劑質量為
，試問自來水達到有效凈化一共可持續幾天？
（Ⅱ）如果投放的藥劑質量為
，為了使在9天（從投放藥劑算起包括9天）之內的自來水達到最佳凈化，試確定應該投放的藥劑質量
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的圖象上有一點列
，點
在
軸上的射影是
，且
(
且
)， 
.
(1)求證： 
是等比數列，并求出數列
的通項公式；
(2)對任意的正整數
，當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
(3)設四邊形
的面積是
，求證： 
.
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